保护定律是理解，表征和建模非线性动力系统的关键理论和实用工具。但是，对于许多复杂的动态系统，难以识别相应的保守量，因此很难分析其动力学并建立高效，稳定的预测模型。当前发现保护定律的方法通常取决于详细的动态信息，例如运动方程或细粒度的时间测量，许多最新的建议还依赖于黑匣子参数深度学习方法。相反，我们将这项任务重新制定为一种多种学习问题，并提出了一种非参数方法，将最佳运输中的Wasserstein指标与扩散图相结合，以发现从动力学系统中采样的轨迹中变化的保守数量。我们在各种物理系统上测试了这种新方法$ \ unicode {x2014} $，包括保守的汉密尔顿系统，耗散系统和时空系统$ \ unicode {x2014} $保守数量并提取其价值。使用最佳运输理论和流形学习中的工具，我们提出的方法提供了一种直接的几何方法来识别既有坚固且可解释的保护定律，而无需明确的系统模型或准确的时间信息。
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我们考虑从原始数据学习自由形式符号表达的问题，例如由任何科学域的实验产生的。精确和可解释的科学现象模型是科学研究的基石。简单但可诠释的模型，例如线性或逻辑回归和决策树通常缺乏预测的准确性。或者，精确的黑箱模型，如深神经网络，提供了高的预测精度，但不容易承认以丰富的这种现象理论的方式承认人类的理解。科学的许多巨大突破围绕着高预测准确性的扩大公正模型的发展，如牛顿的法律，普遍引力和麦克斯韦方程式。以前的工作是自动化从数据中搜索公正模型，结合了域特定启发式，以及计算昂贵的技术，例如遗传编程和蒙特卡罗搜索。我们开发一个深度神经网络（MACSYMA），以解决符号回归问题作为端到端的监督学习问题。 MacSyma可以生成描述数据集的符号表达式。任务的计算复杂性降低到神经网络的前馈计算。我们在由不同长度和不同噪声水平的数据表上培训我们的神经网络，其中神经网络必须学习通过令牌生成正确的符号表达式令牌。最后，我们通过在行为科学的公共数据集上运行来验证我们的技术。
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